头脑风暴系列之一 ----概率

sheng_jianguo

也就是说，你的计算还是没有排除  两端点均在圆外，其延长线才交与圆两点这种情况
wayne 发表于 2010-8-30 13:43

我在114楼已说明，x，y都不小于1时，√((x*x-1)≤L且√(y*y-1) ≤L恰好是针和圆有两个交点的区域，也就是不满足√((x*x-1)≤L且√(y*y-1) ≤L时，针和圆不会有两个交点。排除了两端点均在圆外，其延长线才交与圆两点这种情况

sheng_jianguo

只需注意，海伦公式有一个隐藏的条件，就是 x+y>L ,|x-y|
wayne 发表于 2010-8-30 13:51

x+y>L ,|x-y|<L是对的，但条件太宽，不能排除两端点均在圆外，其延长线才交与圆两点这种情况

wayne

121# sheng_jianguo
，俺太马虎了， 没看清楚。

现在发现，针对圆心的张角不一定大于90度。
只好用最笨的方法了，设两端点 坐标为 A (x1,y1), B (x2,y2)  ，算出圆心对针的垂足P(x0,y0) ，看垂足P是否 分AB 为正值，即  (x0-x1)(x0-x2) <0

wayne

算出：
垂足 (x0,y0) 坐标为：  ${((y1 - y2) (x2 y1 - x1 y2))/(x1^2 - 2 x1 x2 + x2^2 + y1^2 - 2 y1 y2 + y2^2), ((x1 - x2) (x1 y2 - x2 y1))/(x1^2 - 2 x1 x2 + x2^2 + y1^2 - 2 y1 y2 + y2^2)}$

代入等比分点公式得知：
$(x^2-y^2)^2<L^4$
画图：

sheng_jianguo

124# wayne
这样做没有问题了，我的区域和你的一样，验证了这样做的正确性。

wayne

计算式子是：
$\frac{\int_R^{L-R} (\sqrt{-\sqrt{L^2 (4 x^2-R^2)}+L^2+x^2}-(L-x)) \dx+\int_{L-R}^{\sqrt{L^2-\sqrt{3} L R+R^2}} (\sqrt{-\sqrt{L^2 (4 x^2-R^2)}+L^2+x^2}-R) \dx}{\int_R^{L-R} (\sqrt{-2 \sqrt{L^2 (x^2-R^2)}+L^2+x^2}-(L-x)) \dx+\int_{L-R}^{\sqrt{L^2+R^2}} (\sqrt{-2 \sqrt{L^2 (x^2-R^2)}+L^2+x^2}-R) \dx}$

数值积分结果跟你的一样。
这就怪了，答案跟前面最开始你用的方法不一样

sheng_jianguo

为什么两个计算结果有差别，原因在于两种做法都在各自的等概率假设下得出的结论，又回到了贝特朗怪论。
我觉得（前面已提到），两端点到圆心距不是随机等概率分布。一个端点到圆心距可以认为是随机等概率分布，当针长确定时，另一个端点受针限制只能在一圆周上，在这圆弧长上等概率分布才合理，如果按这个假设，我算出的结果是：
L=2,P≈0.1
L=3,P≈0.4
L=20,P≈0.5
这个计算结果和我前面的另一个结果（见92#,图在102#）很接近。

wayne

127# sheng_jianguo
, 感觉”等概率假设“这个词比较模糊，不够数学化。
对于这种事件空间不是离散的概率题，我们默认了是用测度论里面的概率公理( 柯尔莫果洛夫公理)规定的原则来算的。
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/概率公理

wayne

“等概率分布”，“等可能事件”这类词应该是源自传统概率的定义，即拉普拉斯定义的，其实是很模糊的，仔细揣摩你会发现这其实是用概率解释了概率，

这可不是我一个人说的哦，参见wiki：
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/概率论

wayne

再看看测度：
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/测度